RELAZIONE TRA UTILITA' MARGINALE E SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

PREMESSA

Cercheremo, nelle prossime righe, di comprendere quale relazione esiste tra l'utilità marginale di due beni e il loro saggio marginale di sostituzione.

Prima di addentrarci nell'argomento ricordiamo cosa sono entrambi.

UTILITA' MARGINALE

L'utilità marginale di un bene è l'incremento che l'utilità totale del bene subisce per effetto del consumo di una ulteriore dose di esso.

SIMBOLI

Indichiamo:

• l'utilità marginale del bene x con il simbolo UMg_x;
• l'utilità marginale del bene y con il simbolo UMg_y;
• l'utilità totale ricavata dal consumatore dai beni x ed y con U(x,y) per indicare che tale utilità è una funzione di x e di y;
• la variazione dell'utilità totale con ΔU(x,y)
• il saggio marginale di sostituzione con SMS_x,y.

SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE

Il saggio marginale di sostituzione è la quantità del bene y che il consumatore è disposto a sacrificare per avere in cambio una unità aggiuntiva del bene x.

In simboli esso si esprime nel modo seguente:

SMS_x,y =-Δy/Δx

RELAZIONE TRA UTILITA' MARGINALE E SMS

Se consumiamo una unità in più del bene x, la crescita dell'utilità totale è rappresentata dall'utilità marginale di x.

Se il consumo del bene x cresce di due unità, la crescita dell'utilità totale sarà pari all'utilità marginale del bene x per 2.

E così via.

Generalizzando possiamo dire che se varia la quantità del bene x consumata, nella misura di Δx, l'utilità totale varia nella seguente misura:

ΔU = UMg_x · Δx

La stessa cosa accade con un eventuale secondo bene che chiamiamo y:

ΔU = UMg_y · Δy

Ora ipotizziamo di avere due panieri A e B entrambi formati dai beni x ed y, tali che:

• il paniere A contiene il bene x nella misura x_a e il bene y nella misura y_a;
• il paniere B contiene il bene x nella misura x_b e il bene y nella misura y_b;

Inoltre ipotizziamo che entrambi i panieri si trovino sulla medesima curva di indifferenza, il che significa che da entrambi i panieri, il consumatore trae la medesima utilità totale.

Nel momento in cui il consumatore si sposta lungo la curva di indifferenza, dal punto A al punto B, la variazione subita dall'utilità totale sarà pari alla somma delle variazioni subite dall'utilità per effetto della variazione del bene x e del bene y. In altre parole si avrà:

ΔU(x,y) = UMg_x · Δx + UMg_y · Δy

ma poiché A e B si trovano lungo la stessa curva di indifferenza e, quindi, l'utilità totale non subisce variazioni passando da un paniere all'altro, possiamo dire con certezza che la variazione dell'utilità totale è pari a zero, ovvero:

ΔU(x,y) = UMg_x · Δx + UMg_y · Δy = 0

Da qui, portiamo a secondo membro il primo addendo, cambiando di segno, e avremo:

UMg_y · Δy = - UMg_x · Δx

Dividiamo entrambi i membri per UMg_y:

Dividiamo entrambi i membri per Δx

Da cui ricaviamo:

Ma come sappiamo il rapporto tra -Δy/ Δx non è altro che il saggio marginale di sostituzione:

Quindi:

Quindi possiamo affermare che il saggio marginale di sostituzione non è altro che il rapporto tra le utilità marginali dei due beni.