FUNZIONE DI PRODUZIONE E RENDIMENTI DI SCALA

FUNZIONE DI PRODUZIONE E RENDIMENTI DI SCALA

Nella precedente lezione abbiamo visto alcune funzioni di produzione con rendimenti di scala diversi (costanti, crescenti e decrescenti).

Ora vogliamo generalizzare i concetti fin qui espressi.

FUNZIONE DI PRODUZIONE

Supponiamo che la nostra funzione di produzione sia

y = f(x₁, x₂, .....x_n)

dove

y indica la quantità di output

x₁, x₂, .....x_n indicano gli n input impiegati nel processo produttivo.

RENDIMENTI DI SCALA

Indichiamo con t la percentuale di aumento di tutti gli input.

Di conseguenza

y = f(tx₁, tx₂, .....tx_n)

rappresenta la funzione di produzione in cui tutti gli input sono incrementati della percentuale t.

Invece

y = tf(x₁, x₂, .....x_n)

rappresenta la funzione di produzione nella quale l'output viene aumentato della percentuale t, fermo restanto le quantità impiegate dei vari input.

Affinché una funzione di produzione abbia rendimenti di scala costanti è necessario che, in seguito all'aumento di tutti gli input della percentuale t, la quantità prodotta cresca anch'essa della percentuale t.

Di conseguenza, per comprendere se la funzione in questione ha rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti dobbiamo confrontare queste due funzioni in modo da capire se, aumentando tutti gli input della percentuale t, l'output aumenta anche'esso della percentuale t o aumenta in misura maggiore o minore.

Quindi se:

f(tx₁, tx₂, .....tx_n) = tf(x₁, x₂, .....x_n) - i rendimenti di scala sono costanti

oppure se:

f(tx₁, tx₂, .....tx_n) ≥ tf(x₁, x₂, .....x_n) - i rendimenti di scala sono crescenti

in fine se:

f(tx₁, tx₂, .....tx_n) ≤ tf(x₁, x₂, .....x_n) - i rendimenti di scala sono decrescenti.

CONDIZIONE DA PORRE

Nelle relazioni scritte sopra dobbiamo porre come condizione che :

t > 1

Il motivo sta nel fatto che noi andiamo ad indagare i casi nei quali si hanno degli incrementi negli input. Inoltre, va osservato che nel caso di rendimenti di scala crescenti e decrescenti penendo t <1 si dovrebbe cambiare il verso della disequazione.

Nel caso di rendimenti di scala costanti, non trovandoci di fronte ad una disequazione, possiamo porre la condizione t > 0.

ESEMPIO

Vediamo come usare, concretamente, quanto detto sopra con un esempio.

Supponiamo di avere la funzione:

y = (K + L)²

Aumentando tutti gli input della percentuale t, la produzione aumenta nella seguente misura:

y = (tK + tL)²

da cui otteniamo:

y = t²K² + t²L² + 2t²KL = t² (K² + L² + 2KL)

Ora vediamo cosa accade quando la produzione aumenta della percentuale t:

y = t(K + L)²

da cui otteniamo:

y = t (K² + L² + 2KL)

E' evidente che:

t² (K² + L² + 2KL) > t (K² + L² + 2KL)

Quindi la nostra funzione di produzione ha rendimenti di scala crescenti poiché, aumentando tutti gli input della percentuale t, la produzione aumenta in misura maggiore rispetto alla percentuale t.