FUNZIONE DI COBB-DOUGLAS

FUNZIONE DI COBB-DOUGLAS

Si chiama funzione di Cobb-Douglas una funzione di produzione molto importante in quanto rappresenta molti processi produttivi reali. Essa si presenta nella forma:

Q = AL^α K^β

con

α > 0    e    β > 0.

Nella nostra funzione A, α, β assumono dei valori precisi all'interno di una data impresa.

Ad esempio, in una ipotetica impresa, tali parametri potrebbero assumere i seguenti valori:

A = 10   α = 1/2   β = 1/2

La funzione di produzione sarebbe, quindi:

Q = 10·L^1/2·K^1/2

RENDIMENTI DI SCALA DELLA FUNZIONE DI COBB-DOUGLAS

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione di Cobb-Douglas è molto semplice comprendere se essa ha rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti.

Infatti è sufficiente guardare la somma degli esponenti:

• se α + β = 1, la funzione ha rendimenti di scala costanti;
• se α + β > 1, la funzione ha rendimenti di scala crescenti;
• se α + β < 1, la funzione ha rendimenti di scala decrescenti.

La regola vale anche nel caso in cui, anziché due input, ce ne sono di più: si tratta sempre di verificare che la somma degli esponenti di tutti gli input sia uguale, maggiore o minore di uno.

ESEMPIO

Tornando all'esempio precedente

Q = 10·L^1/2·K^1/2

In questo caso abbiamo:

α + β = 1/2 + 1/2 = 1.

La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti.

DIMOSTRAZIONE

Ora cerchiamo di capire il perché di quello che abbiamo detto.

Abbiamo visto in precedenza, parlando della funzione di produzione e dei rendimenti di scala, come fare per capire il tipo di rendimento di scala di una funzione di produzione, cioè dobbiamo confrontare

f(tx₁, tx₂, ...tx_n)   con    tf(x₁, x₂, ...x_n)

Adesso si tratta di applicare il medesimo procedimento alla funzione di Cobb-Douglas.

f(tx₁, tx₂) = A (tx₁)^α · (tx₂)^β = A·t^α·x₁^α·t^β·x₂^β = A·t^(α+β)·x₁^α·x₂^β

Ora osserviamo che:

A·t^(α+β)·x₁^α·x₂^β

può essere scritto anche così:

t^(α+β)·A·x₁^α·x₂^β

ma

A·x₁^α·x₂^β

non è altro che la funzione di partenza.

Quindi

t^(α+β)·A·x₁^α·x₂^β

è uguale a

t^(α+β)·f(x₁, x₂)

Pertanto possiamo dire che

f(tx₁, tx₂) = t^(α+β)·A·x₁^α·x₂^β

Andiamo a confrontare la nostra funzione con la funzione

tf(x₁, x₂, ...x_n)

E' chiaro che:

• quando α + β = 1 avremo che

  t¹·A·x₁^α·x₂^β = t·A·x₁^α·x₂^β

  pertanto la funzione ha rendimenti di scala costanti;
  
  
  
  

• quando α + β > 1 avremo che

  t^α+β·A·x₁^α·x₂^β > t·A·x₁^α·x₂^β

  pertanto la funzione ha rendimenti di scala crescenti;
  
  
  
  

• quando α + β < 1 avremo che

  t^α+β·A·x₁^α·x₂^β < t·A·x₁^α·x₂^β

  pertanto la funzione ha rendimenti di scala decrescenti.